RESOLUÇÃO DO SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES PELO MÉTODO DO ESCALONAMENTO

SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES
Determine o sistema de equações lineares abaixo, usando o Método do Escalonamento
2x + y – z = 11
x – 2y – 2z = -12
3x + y + 3z = 1
(esse sistema deve conter uma chave à direita, contendo todas as equações)
Colocamos todos os coeficientes e os termos independentes dentro de uma matriz, a qual deve conter parênteses do lado esquerdo e direito, compreendendo todas as linhas de coeficientes e termos independente (teremos uma matriz 3x4, isto é, três linha e quatro colunas)
2 1 -1 11
1 -2 -2 -12
3 1 3 1
Multiplicamos a 2ª. Linha por (-2) e somamos com a segunda, e teremos uma matriz semelhante, onde mudará os elementos da primeira linha
0 5 3 35
1 -2 -2-12
3 1 3 1
Multiplicamos a 2ª. Linha por (-3) e somamos com a terceira, e teremos uma matriz semelhante, onde mudará os elementos da terceira linha
(matriz semelhante a anterior)
0 5 3 35
1 -2 -2-12
0 7 9 37
Multiplicamos a 1ª. Linha por (7) e multiplicamos a 3ª. Linha por (-5), onde então mudarão os elementos da 1ª.e 3ª.linhas, sendo que teremos uma matriz semelhante a anterior



0 35 21 245
1 -2 -2 -12
0 -35 -45 -185
Somamos a 1ª. linha com a 3ª. linha, onde mudarão os elementos da 3ª. linha
(teremos uma matriz semelhante a anterior)
0 35 21 245
1 -2 -2 -12
0 0 -24 60
Multiplicamos a 3ª. linha por (-1) e somamos com a primeira, onde obteremos uma matriz semelhante, onde os elementos da primeira linha mudarão

0 35 45 185
1 -2 -2 -12
0 0 -24 60
Multiplicamos a 1ª. linha por 1/5, obtendo uma matriz semelhante onde os elementos da 1ª. matriz se modificarão
(obteremos uma matriz semelhante a anterior)
0 7 9 37
1 -2 -2 -12
0 0 -24 60
Multiplicamos agora a 3ª. linha por (-1/24), e teremos outra matriz semelhante a anterior, sendo que a terceira linha terá outros elementos
0 7 9 37
1 -2 -2 -12
0 0 1 -5/2
Multiplicamos a 1ª. linha por (1/7), onde os elemento primeira linha serão outros
0 1 9/7 37/7
1 -2 -2 -12
0 0 1 -5/2

Multiplicamos agoera a 1ª. linha por (2) e somamos com a 2ª. linha, onde os elementos da 2ª. linha mudarão
(obteremos uma matriz semelhante a anterior)

0 1 9/7 37/7
1 0 4/7 -10/7
0 0 1 -5/2
Multiplicamos a 3ª. linha por (-9/7) e somamos com a 1ª. linha, alterando os elementos da 1ª. linha
0 1 0 119/14
1 0 4/7 -10/7
0 0 1 -5/2
Multiplicamos a 3ª. linha por (-4/7) e somamos com a 2ª. linha, onde esta terá outros elementos
(matriz semelhante a anterior)
0 1 0 119/14
1 0 0 0
0 0 1 -5/2
Trocamos a primeira linha pela 2ª. e a 2ª. linha pela primeira, obtendo uma matriz semelhante a esta
1 0 0 0
0 1 0 119/14
0 0 1 5/2
A leitura dessa matriz será:
X = 0
Y = 119/14
Z = -5/2
Para verificar se as respostas estão corretas, escolhemos uma das equações lineares, e substituímos x, y e z pelos devidos resultados obtidos nessa última matriz


Sabendo que x - 2 y – 2z = -12, substituindo x, y e z
Teremos 2.(0) -2 (119/14) -2(-5/2) = -12
0 -119/7 + 5 = -12
-119+35/7 = 12
-84/7 = -12
-12 = -12 VERDADEIRO, assim c.q.d. (assim como queríamos demonstrar)