DIFERENCIAL - EXERCÍCIO 1

INTERPRETAÇÃO DE

dx/dy como um quociente DIFERENCIAL

dy/dx= f’(x) = tgα e portanto, dy = f’(x).dx

dy = f’(x).dx Diferencial de f em x

Se y = x/x²+ 1

a) Determine dy/dx no ponto x = 2

Resolução: Se dy/dx = f’(x) e f(x) = x/x²+1, calculamos primeiro a derivada de y

f’(x) = (x)’. (x²+1) – (x).(x²+1)’

(x²+ 1)²

(quando temos um quociente, fazemos a derivada do numerador vezes o numerador menos o numerador vezes a derivada do denominador, sobre o denominador elevado ao quadrado (u/v)’= u’.v – u.v’/v²

f’(x) = 1.(x²+1) – x.(2x)

(x²+1)²

f’(x) = x²+ 1 – 2x²

(x²+ 1)²

f’(x) = -x²+1/ (x²+1)²

Quando x = 2, teremos

f’(2)= - (2)² + 1/(2²+1)²= -3/25

b) Sabendo que x = t + 3/t², determine dx/dt no ponto x= 1

dx/dt = f’(x)

( t+3/t²)’= (t + 3.t^-2)’= 1 +(-2.3t^-2-1) = 1-6t^-3=1 – 6/t³

Logo, dx/dt = 1 – 6/t³

Quando x = 1, teremos

f’(1) = 1 – 6/1

f’(1) = -5

Pelo gráfico temos que Δy = dy + E

onde E é o erro cometido quando aproximamos Δy por dy.

Se dx é pequeno, então E também é pequeno. Então podemos aproximar a variação da função pela diferencial em x, isto é:

Δy = dy

f (x + dx) – f(x) + f’(x)dx

DETERMINAR A DIFERENCIAL DA FUNÇÃO f(x) = x³ – 4/x³

como f(x+dx) = f(x) + f’(x)dx, temos que

f’(x) = (x³ – 4/x³)’

f’(x) = (x³ – 4.x^-3)’

f’(x) = 3x² – (-3.4.x^-3-1)

f’(x) = 3x² + 12x^-4

Logo f’(x) = 3x²+ 12/x⁴

dy = (3x²+ 12/x⁴)dx

Supondo x = 1 e dx= 0,001, teríamos:

f(x+Δx) = f(x) + f’(x).dx

f(1 + 0,001) = f(1) + f’(1).0,001

f(1,001) = f(1) + f’(1).0,001

(1,001³-4/1,001³) = 1-4/1 +( 3+12/1).0,001

-2,9850 = -3+0,015

-2,985 = -2,985 c.q.d. (conforme queríamos demonstrar)