RAZÃO E PROPORÇÃO

Flávia, Beto e Guilherme trabalham na mesma empresa e recebem salários de igual valor.
Beto disse: - Gastei 4/9 do meu salário
Flávia então falou: - E eu? Gastei 6/9 do salário
Guilherme então relatou: - E eu gastei demais, 8/12 do meu salário
Mediante essas informações, o que podemos concluir?

1a. Beto gastou 4/9 do salário = 4/9k
2a. Flávia gastou 6/9 do salário = 6/9k
3a. Guilherme gastou 8/12 do salário = 8/12k

Logo 4/9 + 6/9 = 8/12 = k
então o mínimo múltiplo comum de 4,9 e 12 = 36

16/36= 24/36 = 24/36 = 36k, onde k é a constante de proporcionalidade
Logo podemos tirar as seguintes conclusões:
Flávia e Guilherme gastaram a mesma quantia do salário
Beto foi o que gastou menos dos três.

Fazemos então uma regra de três para dizer quanto por cento eles gastaram do salário:
4/9 - B(Beto)
1 - 100%
B = 4.100/9
B = 44,44%

6/9 - F(Flávia)
1 - 100%
F = 6.100/9
F = 66.67%


8/12 - G(Guilherme)
1 - 100%
G = 8.100/12
G = 66,67%
Beto gastou 44,44% do salário, Flávia gastou 66,67% e Guilherme também gastou 66,67% do salário

04 - DERIVADAS

Sendo y = e^2t , determine f(t)

dy/dt = (y)’ou f’(t)

f(t) = e^2t

Pausa: para f(e^x) = f’(e^x)= e^x .(x)’

f’(e^x)= e^x.1= e^x

para e^3x, a derivada dessa função será (e^3x).(3x)’= e^3x.3

Voltando ao exercício,

f’(t) = e^2t.2

03 - DERIVADAS

Se x = t²/1+t, determine f’(t)

Temos “x” em função de “t”

dx/dt = f’(t)

f’(t) = derivada do numerados vezes o denominador, menos o numerados vezes a derivada do denominador, sobre o quadrado do denominador

(u/v)’+ u’.v – u.v’/ v²

Então f’(t) = (t²/1+t)’

f’(t) = (t²)’.(1+t) – (t²).(1+t)’/(1+t)²

f’(t) = 2t.(1+t)- t².1/(1+t)²²

f’(t) = 2t + 2t²- t²/(1 + t)²

f’(t) = 2t + t²/(1 + t)²

dx = 2t + t²/(1 + t)² dt

Se x = 1 e dx = 0,001, teremos

f(t + Δt)= f(t) + f’(t)dt

Pausa:

F’(t) = 2t + t²/(1 + t)²

Então f’(1) = 2.1 + 1²/(1 + 1)²

f’(1) = 3/4

f’(1) = 0,75

f(1) = 1²/1+1

f(1) = ½

f(1) = 0,5

Agora f(t + Δt) = f(1+0,001) = f(1,001)

f(1,001) = (1,001)²/(1+1,001)

f(1,001) = 1,002/2,001

f(1,001) = 0,5007

Substituindo em f(t + Δt)= f(t) + f’(t)dt, teremos

0,5007 = 0,5 +0,75.0,001

0,5007 = 0,5 + 0,00075

0,5007 = 0,5007... c.q.d. (conforme queríamos demonstrar)

E f(t + Δt)= 0,5007 para x=1 e dt=0,001

DIFERENCIAL - EXERCÍCIO 2

DIFERENCIAL _{__________}

Exercício: Se f(x) = √(x²+3)

(raiz quadradas de x ao quadrado mais três)

sabendo que quando x= 1 varia de 0,03

f(x+Δx) = f(x) + f’(x)dx

Pausa:

A derivada de √x = 1/2√x . (x)’=

Como x = x¹ então a derivada será x^1-1= x⁰= 1

Se tivermos uma função y = √(2x³-x²+2/3), então a derivada será ½√(2x³-x²+2/3) . (2x³-x²+2/3) ou seja

A derivada dessa função é igual a 1 sobre 2 que multiplica a raiz da função y, vezes a derivada de y = (y)’

(2x³-x²+2/3)’= 3.2.x^3-1- 2.x^2-1+ 0 (derivada de uma função constante como (2/3)’= 0

Logo y’= 6x²-2x+0

(√2x³-x²+2/3)’ = 1/2√(2x³-x²+2/3(2x³-x²+2/3)’

(√2x³-x²+2/3)’= 1/2√(2x³-x²+2/3). 6x²-2x+0

(√2x³-x²+2/3)’=6x²-2x/ 2√(2x³-x²+2/3)

(√2x³-x²+2/3)’= 2(3x²-x)/ 2√(2x³-x²+2/3)

(√2x³-x²+2/3)’= 3x²-x/√(2x³-x²+2/3)

Voltando ao exercício, se f(x) = √(x²+3)

f(x+Δx) = f(x)+ f’(x).dx

dy/dx = f’(x)

f’(x) = ½(√(x²+3). (x²+3)’

f’(x) = ½(√(½(√(x²+3).(2x + 0)

f’(x) = 2x/2√(x²+3)

f’(x) = x/√(x²+3)

Quando x = 1

f’(1) = 1/√(1²+3)

f’(1) = 1/√(4)

f’(1) = ½ ou 0,5

Se f(x) = √(x²+3)

Então f(1) =√(1²+3), logo f(1) = √(4)

f(1) = 2

x + Δx = 1 + 0,03

x + Δx = 1,03

f(1,03) = √(1,03²+ 3)

f(1,03) = √(1,0609+3)

f(1,03) = 2,015

Sabendo que

f(x+Δx) = f(x)+ f’(x).dx , e substituindo os valores encontrados passo a passo teremos

2,015 = 2 + ½.0,03

2,015 = 2 + 0,015

2,015 = 2,015 c.q.d (conforme queríamos demonstrar

A resposta para f(x) quando x=1 e dx=0,03

f(x+Δx) = 2,015

RAZÃO DIRETAMENTE PROPORCIONAL

Exercício 1: A receita bruta total de uma empresa é diretamente

proporcional ao quadrado da terça parte das quantidades vendidas.

Sabe-se que quando são vendidas 6 unidades, a receita bruta é igual

a 40. Assim, se forem vendidas 3 unidades, qual será a receita bruta?

RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO:

A Receita Bruta "y" é diretamente proporcional a (1/3.x)², ou seja

(a receita bruta y é diretamente proporcional a um terço de x elevado ao quadrado)

y= k. (x/3)²

y = k.(x²/9) onde k é a constante de proporcionalidade

(y é igual a k que multiplica x elevado ao quadrado sobre 9)

quando x = 6, temos

y1 = k.(6²/9)

y 1= k. (36/9)

y1 = k.4

40 = 4k

4k = 40

k = 40/4

k = 10

y2= k.(x²/9) e x = 3

y2 = k.(9/9) onde k = 10

portanto y2= 10

Resposta: A receita bruta para 3 unidades vendidas será igual a 10

DIFERENCIAL - EXERCÍCIO 1

INTERPRETAÇÃO DE

dx/dy como um quociente DIFERENCIAL

dy/dx= f’(x) = tgα e portanto, dy = f’(x).dx

dy = f’(x).dx Diferencial de f em x

Se y = x/x²+ 1

a) Determine dy/dx no ponto x = 2

Resolução: Se dy/dx = f’(x) e f(x) = x/x²+1, calculamos primeiro a derivada de y

f’(x) = (x)’. (x²+1) – (x).(x²+1)’

(x²+ 1)²

(quando temos um quociente, fazemos a derivada do numerador vezes o numerador menos o numerador vezes a derivada do denominador, sobre o denominador elevado ao quadrado (u/v)’= u’.v – u.v’/v²

f’(x) = 1.(x²+1) – x.(2x)

(x²+1)²

f’(x) = x²+ 1 – 2x²

(x²+ 1)²

f’(x) = -x²+1/ (x²+1)²

Quando x = 2, teremos

f’(2)= - (2)² + 1/(2²+1)²= -3/25

b) Sabendo que x = t + 3/t², determine dx/dt no ponto x= 1

dx/dt = f’(x)

( t+3/t²)’= (t + 3.t^-2)’= 1 +(-2.3t^-2-1) = 1-6t^-3=1 – 6/t³

Logo, dx/dt = 1 – 6/t³

Quando x = 1, teremos

f’(1) = 1 – 6/1

f’(1) = -5

Pelo gráfico temos que Δy = dy + E

onde E é o erro cometido quando aproximamos Δy por dy.

Se dx é pequeno, então E também é pequeno. Então podemos aproximar a variação da função pela diferencial em x, isto é:

Δy = dy

f (x + dx) – f(x) + f’(x)dx

DETERMINAR A DIFERENCIAL DA FUNÇÃO f(x) = x³ – 4/x³

como f(x+dx) = f(x) + f’(x)dx, temos que

f’(x) = (x³ – 4/x³)’

f’(x) = (x³ – 4.x^-3)’

f’(x) = 3x² – (-3.4.x^-3-1)

f’(x) = 3x² + 12x^-4

Logo f’(x) = 3x²+ 12/x⁴

dy = (3x²+ 12/x⁴)dx

Supondo x = 1 e dx= 0,001, teríamos:

f(x+Δx) = f(x) + f’(x).dx

f(1 + 0,001) = f(1) + f’(1).0,001

f(1,001) = f(1) + f’(1).0,001

(1,001³-4/1,001³) = 1-4/1 +( 3+12/1).0,001

-2,9850 = -3+0,015

-2,985 = -2,985 c.q.d. (conforme queríamos demonstrar)